Forma ます

ます けい [Forma masu]

• A forma ます é  auxiliar de afirmação quando no presente/futuro:

1º grrupo: かなう[realizar]:
Acho que um bom jeito de entender seria colocando em forma de equação, então:
かなう- う+ います =  かないます
まつ [esperar]:  como neste exemplo temos que retirar o [u] do [tsu] há um pequeno ponto a analizar: não existe [tsi], logo deve-se fazer uma adaptação e ele virará [chi].
まつ-う+います = まちます

2º grupo: たべる[comer]:
Este é o mais simples dos três grupos, basta tirar o [る] e colocar [ます]:
たべる-る+ます=たべます

3º grupo:
くる - うる + います = きます
する - うる + います = します, como não existe o kana  de [si] fazemos uma adaptação para [shi].
Para os verbos terminados em [する] a terminação segue o original e vai para [します].

• Auxiliar de negação no presente/futuro:

1º grupo:

A regra é a mesma, porém utiliza-se ません: 

かなう- う+ いません =  かないません

2º grupo:

Mesma regra, porém com ません: 

たべる-る+ ません = たべません

3º grupo:

くる - うる + います = きません

する - うる + います = しません, como não existe o kana  de [si] fazemos uma adaptação para [shi].
Para os verbos terminados em [する] a terminação segue o original e vai para [しません].